已知等比数列{an}的公比大于1，Sn是数列{an}的前n项和，S3=39，且a1，23a2，13a3依次成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足：b1=3，bn=an（1a1+1a2+…+1an−1）（n≥2），求数

Question

已知等比数列{a_n}的公比大于1，S_n是数列{a_n}的前n项和，S₃=39，且a₁，(2)/(3)a2，(1)/(3)a3依次成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足：b₁=3，b_n=a_n（(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(an−1)）（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁，(2)/(3)a2，(1)/(3)a3依次成等差数列，∴(4)/(3)a2＝a1+(1)/(3)a3，即：4a₂=3a₁+a₃．
设等比数列{a_n}公比为q，则4a1q＝3a1+a1q2，∴q²-4q+3=0．
∴q=1（舍去），或q=3．
又S3＝a1+a1q+a1q2＝13a1＝39，故a₁=3，
∴an＝3n．              
（Ⅱ） 当n≥2时，bn＝3n•((1)/(3)+(1)/(32)+…+(1)/(3n−1))＝3n•((1)/(3)[1−((1)/(3))n−1])/(1−(1)/(3))＝(1)/(2)[3n−3]．
则bn＝

3

(1)/(2)[3n−3]

n＝1

n≥2

，
∴T_n=3+(1)/(2)[9+27+81+…+3n-3（n-1）]=3+(1)/(2)[(9(1−3n−1))/(1−3)−3(n−1)]＝(1)/(4)•3n+1−(3)/(2)n+(9)/(4)
∴Tn＝(1)/(4)•3n+1−(3)/(2)n+(9)/(4)．