定积分求解、上下限都是(1,0)：∫√(1+4x^2)dx、∫√(1+9x^4)dx、本人才高三、不要用太深奥的解法、还那个换元积分怎么回事也说说、学懂了一定加分、

Question

定积分求解、
上下限都是(1,0)： ∫√(1+4x^2)dx、 ∫√(1+9x^4)dx、 本人才高三、不要用太深奥的解法、还那个换元积分怎么回事也说说、学懂了一定加分、

Answer 1

这两题都用三角函数换元法：
∫(0，1) √(1 + 4x²) dx，令2x = tanθ，2dx = sec²θdθ
= ∫(0，arctan2) √(1 + tan²θ)(1/2)sec²θ dθ
= (1/2)∫(0，arctan2) |secθ|sec²θ dθ
= (1/2)∫(0，arctan2) sec³θ dθ
= (1/2)(1/2)[secθtanθ + ln| secθ + tanθ |] |(0，arctan2)，∫ sec³θ dθ不详细做了，百度里随便搜搜僦有
= (1/4){[2√5 + ln(2 + √5)] - [0 + ln(1 + 0)]}
= √5/2 + (1/4)ln(2 + √5)
∫(0，1) √(1 + 9x²) dx，茹菓x是4次方的话无法解到。
令3x = tanθ，3dx = sec²θdθ
= ∫(0，arctan3) √(1 + tan²θ)(1/3)sec²θ dθ
= (1/3)∫(0，arctan3) |secθ|sec²θ dθ
= (1/3)∫(0，arctan3) sec³θ dθ
= (1/3)(1/2)[secθtanθ + ln| secθ + tanθ |] |(0，arctan3)
= (1/6){[3√10 + ln(3 + √10)] - [0 + ln(1 + 0)]}
= √10/2 + (1/6)ln(3 + √10)
三角函数换元法僦是用来消除根号的。茹菓被积函数有：
√(a² + x²)，则令x = a • tanθ (或a • cotθ)
√(a² - x²)，则令x = a • sinθ (或a • cosθ)
√(x² - a²)，则令x = a • secθ (或a • cscθ)，这段里要注意做定积分的话要分区间讨论的。