已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2-k=0（k≥1）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

Question

已知：关于x的一元二次方程kx²+2x+2-k=0（k≥1）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

Answer 1

证明：（1）∵k≥1，
∴k≠0，此方程为一元二次方程，
∵△=4-4k（2-k）=4-8k+4k²=4（k-1）²，
而4（k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴方程恒有两个实数根．
（2）方程的根为x＝(−2±√(4(k−1)2))/(2k)＝(−1±√((k−1)2))/(k)，
∵k≥1，∴x＝(−1±√((k−1)2))/(k)＝(−1±(k−1))/(k)．
∴x₁=-1，x2＝1−(2)/(k)，
∵k≥1，若k为整数，
∴当k=1或k=2时，方程的两个实数根均为整数．