利用等比数列前n项和公式证明an+an-1b+an-2b2+…+bn=an+1-bn+1a-b，其中n∈N*，a，b是不为0的常数，且a≠b．

Question

利用等比数列前n项和公式证明aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+bⁿ=(an+1-bn+1)/(a-b)，其中n∈N^*，a，b是不为0的常数，且a≠b．

Answer 1

证明：由于a，b是不为0的常数，且a≠b，
则数列：aⁿ，a^n-1b，a^n-2b²，…，bⁿ为首项为aⁿ，公比为(b)/(a)≠1，项数为n+1的等比数列，
即有aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+bⁿ=(an(1-(bn+1)/(an+1)))/(1-(b)/(a))=(an+1-bn+1)/(a-b)．