如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，m，），C（1，0）．（1）求m值；（2）设点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）．①过

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，m，），C（1，0）．
（1）求m值；
（2）设点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）．
①过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，求出对应的点P坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-3，0），C（1，0），
∴

−9−3b+c＝0

−1+b+c＝0

．
解得：

b＝−2

c＝3

．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
∵点B（0，m）在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴m=3．
∴m的值为3．

（2）①如图1，
∵OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠AB0=45°．
∵PF⊥OA，PD⊥AB，
∴∠PDA=∠EFA=90°=∠AOB．
∴EF∥OB．
∴∠PED=∠ABO=45°．
∴PD=PE•sin45°=(√(2))/(2)PE，DE=PE•cos45°=(√(2))/(2)PE．
∴△PDE的周长为（√(2)+1）PE．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则有

−3m+n＝0

n＝3

．
解得：

m＝1

n＝3

．
∴直线AB的解析式为y=x+3．
设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a．
∴y_P=-a²-2a+3，y_E=a+3．
∴PE=y_P-y_E=（-a²-2a+3）-（a+3）
=-a²-3a
=-（a+(3)/(2)）²+(9)/(4)．
∵-1＜0，
∴当a=-(3)/(2)时，PE取到最大值，△PDE的周长也就取到最大值．
此时y_P=-（-(3)/(2)）²-2×（-(3)/(2)）+3=(15)/(4)．
∴当点P坐标为（-(3)/(2)，(15)/(4)）时，△PDE的周长取到最大值．
②Ⅰ．若AQ为等腰直角△APQ的底边，如图2，
则有AP=PQ，∠APQ=90°．
过点P作PG⊥OA，垂足为G，过点P作PT⊥QH，垂足为T，
∵∠PGH=∠GHT=PTH=90°，
∴四边形PGHT是矩形．
∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT．
∴∠APG=90°-∠GPQ=∠TPQ．
在△AGP和△QTP中，

∠APG＝∠TPQ

∠AGP＝∠QTP

PA＝PQ

．
∴△AGP≌△QTP．
∴AG=TQ，PG=PT．
∴PG=GH．
∵抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为x=-(−2)/(2×(−1))=-1，
∴OH=1．
设PG=t（t＞0），则OG=GH+OH=PG+OH=t+1．
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（-t-1，t）．
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴t=-（-t-1）²-2（-t-1）+3．
整理得：t²+t-4=0．
解得：t₁=(−1−√(17))/(2)（舍去），t₂=(−1+√(17))/(2)．
∴点P的坐标为（(−1−√(17))/(2)，(−1+√(17))/(2)）．
Ⅱ．若PQ为等腰直角△APQ的底边，如图3，
则有AP=AQ，∠PAQ=90°．
过点P作PG⊥OA，垂足为G，
则有∠APG=90°-∠PAG=∠HAQ．
在△AGP和△QHA中，

∠APG＝∠HAQ

∠AGP＝∠QHA＝90°

AP＝AQ

．
∴△AGP≌△QHA．
∴PG=AH．
∵AH=AO-OH=3-1=2，
∴PG=2．
∴y_P=2．
解-x²-2x+3=2得x₁=-1-√(2)，x₂=-1+√(2)．
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（-1-√(2)，2）．
Ⅲ．若AP为等腰直角△APQ的底边，如图4，
则有AQ=PQ，∠AQP=90°．
过点P作PT⊥QH，垂足为T，
则有∠AQH=90°-∠PQT=∠TPQ．
在△AHQ和△QTP中，

∠AQH＝∠TPQ

∠AHQ＝∠QTP

QA＝QP

．
∴△AHQ≌△QTP．
∴AH=QT，QH=PT．
∵AH=2，
∴QT=2．
设QH=PT=p（p＞0），则TH=p+2，
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（-p-1，p+2）．
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴p+2=-（-p-1）²-2×（-p-1）+3．
整理得：p²+p-2=0．
解得：p₁=-2，p₂=1（舍去）．
∴点P的坐标为（-2，3）．
综上所述：点P的坐标为（(−1−√(17))/(2)，(−1+√(17))/(2)）、（-1-√(2)，2）、（-2，3）．