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在平面直角坐标系中,已知A(2,2),AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C.(1)如图1,E为线段OB上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+12EF的值;(2)如图
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在平面直角坐标系中,已知A(2,2),AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C.
(1)如图1,E为线段OB上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+
EF的值;
(2)如图2,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连接DA、CE、F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?若不变,求其值;若改变,求其变化范围.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8601a18b87d6277faa74d8892b381f30e924fc19.jpg)
(1)如图1,E为线段OB上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+
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(2)如图2,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连接DA、CE、F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?若不变,求其值;若改变,求其变化范围.
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C,
∴∠ABO=∠ACO=90°.
∵∠BOC=90°,
∴四边形ABOC是正方形,
∴AB=AC=BO=CO=2,OA平分∠BOC,∠BAC=90°.
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠BAC=∠EAF,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,BE=CF.
设BE=CF=t,OE=2-t,OF=2+t.
∵ED平分∠OEF,
∴点D是△OEF的内心.
如图1,作DM⊥OB于M,作DH⊥OF于H,且DG⊥EF于G,
∴DG=DM=DH,
∴四边形MOHD是正方形,
∴MO=HO=DM=DG.
设DG=MO=x,
∴x=
,
∴x=
,
∴EF=4-2x,
∴
WF=2-x.
∴DG+
EF=x+2-x=2.
即DG+
EF的值为2;
(2)∠KBF的大小不变,∠KBF=45°
如图2,延长BF交AC于G,连接KG,作KM⊥AB于M,KN⊥AC于N,
∵四边形ABOC是正方形,
∴OB∥AC.
∴∠EBF=∠CGF,∠BEF=∠GCF.
∵F是CE的中点,
∴EF=CF.
在△BEF和△GCF中,
,
∴△BEF≌△GCF(AAS),
∴BF=GF.
∵BF⊥FK,
∴∠BFK=∠GFK=90°.
在△BFK和△GFK中,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da9773912956e6fd0fb198618367ae233.jpg)
∴∠ABO=∠ACO=90°.
∵∠BOC=90°,
∴四边形ABOC是正方形,
∴AB=AC=BO=CO=2,OA平分∠BOC,∠BAC=90°.
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠BAC=∠EAF,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
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∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,BE=CF.
设BE=CF=t,OE=2-t,OF=2+t.
∵ED平分∠OEF,
∴点D是△OEF的内心.
如图1,作DM⊥OB于M,作DH⊥OF于H,且DG⊥EF于G,
∴DG=DM=DH,
∴四边形MOHD是正方形,
∴MO=HO=DM=DG.
设DG=MO=x,
∴x=
EO+FO−EF |
2 |
∴x=
2−t+2+t−EF |
2 |
∴EF=4-2x,
∴
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∴DG+
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即DG+
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(2)∠KBF的大小不变,∠KBF=45°
如图2,延长BF交AC于G,连接KG,作KM⊥AB于M,KN⊥AC于N,
∵四边形ABOC是正方形,
∴OB∥AC.
∴∠EBF=∠CGF,∠BEF=∠GCF.
∵F是CE的中点,
∴EF=CF.
在△BEF和△GCF中,
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∴△BEF≌△GCF(AAS),
∴BF=GF.
∵BF⊥FK,
∴∠BFK=∠GFK=90°.
在△BFK和△GFK中,
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