已知等腰直角三角形ABC,AC=BC,D是BC的中点,连接AD,过点C作CF垂直AD交AD于点E,交AB于点F.求证:(1)∠CDA=∠FDB(2)CF+FD=AD

Question

已知等腰直角三角形ABC,AC=BC,D是BC的中点,连接AD,过点C作CF垂直AD交AD于点E,交AB于点F.
求证:(1)∠CDA=∠FDB
(2)CF+FD=AD

Answer 1

过B做BG⊥BC交CF的延长线于G
1：
∵△ABC是等腰直角三角形；
∴AC⊥BC;
∵CE⊥AD;
∴∠CAD+∠CDA=90°；
∠BCG+∠CDA=90°；
∴∠CAD=∠BCG;同理：∠CDA=∠ACF
AC=BC;
∴△ACD全等于△CBG;
∴CD=BG;
∵CD=BD
∴BG=BD
∵BG⊥BC;
∠DBF=∠GBF；BF=BF;
∴△DBF全等于△GBF;
∴∠FDB=∠FGB
∵BG⊥BC;AC⊥BC;
∴AC//BG;
∴∠ACF=∠BGF;
∴∠ACF=∠FDBL
∴∠CDA=∠FDB;
2:
由上所证：
△CAD全等于△BCG;;
∴AD=CD=CF+FG;
∵△BDF全等于BGF;
∴FD=FG;
∴CF+FD=AD