如图，已知在正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，F在AD边上，且BE=DF，EF与AC交于点O．求证：△OEC为等腰直角三角形．

Question

如图，已知在正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，F在AD边上，且BE=DF，EF与AC交于点O．求证：△OEC为等腰直角三角形．

Answer 1

证明：连接AE、CF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠AEB=90°，∠ECF=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD

∠ABE=∠CDF=90°

BE=DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEB=∠ECF，
在△AEC和△FCE中，

AE=CF

∠AEB=∠ECF

EC=CE

，
∴△AEC≌△FCE（SAS），
∴∠ACE=∠FEC=45°，
∴OE=OC，∠EOC=90°，
∴△OEC为等腰直角三角形．