如图，在△ABC中，∠C=90°，AM与BN交于点P，且BM=AC，AN=CM，△EMC是等腰直角三角形，（1）求证：四边形MENA是平行四边形；（2）求∠BPM的度数．

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AM与BN交于点P，且BM=AC，AN=CM，△EMC是等腰直角三角形，

（1）求证：四边形MENA是平行四边形；
（2）求∠BPM的度数．

Answer 1

（1）证明：∵△EMC是等腰直角三角形，
∴MC=ME，∠CME=90°，
∵∠C=90°，
∴AC∥ME，
∵AN=CM，
∴AN=ME，
∴四边形MENA是平行四边形；

（2） 连接BE，
∵四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，∠2=∠1，AM∥EN，
∴∠3=∠BPM，
在△BEM和△AMC中，

MC=ME

∠ACM=∠BME=90°

MB=AC

，
∴△BEM≌△AMC（SAS），
∴∠4=∠AMC，BE=AM，
∵∠2+∠AMC=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∵NE=AM，BE=AM，
∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°，
∴∠BPM=∠3=45°．