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(2014•禹城市二模)如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF
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(2014•禹城市二模)如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.求证:BD⊥CF;
(3)在(2)小题的条件下,AC与BG的交点为M,当AB=4,AD=
时,求线段CM的长.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.求证:BD⊥CF;
(3)在(2)小题的条件下,AC与BG的交点为M,当AB=4,AD=
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▼优质解答
答案和解析
(1)BD=CF成立.
理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,
∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中,
,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴BD=CF.
(2)证明:设BG交AC于点M,
∵△BAD≌△CAF,
∴∠ABM=∠GCM,
∵∠BMA=∠CMG,
∴△BMA∽△CMG,
∴∠BGC=∠BAC=90°,
∴BD⊥CF.
(3)过点F作FN⊥AC于点N,
∵在正方形ADEF中,AD=DE=
,
∴AE=
=2,
∴AN=FN=
AE=1.
∵在等腰直角△ABC中,AB=AC=4,
∴CN=AC-AN=3,BC=
=4
,
∴在Rt△FCN中,tan∠FCN=
=
,
∴在Rt△ABM中,tan∠ABM=
=tan∠FCN=
理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,
∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中,
|
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴BD=CF.
(2)证明:设BG交AC于点M,
∵△BAD≌△CAF,
∴∠ABM=∠GCM,
∵∠BMA=∠CMG,
∴△BMA∽△CMG,
∴∠BGC=∠BAC=90°,
∴BD⊥CF.
(3)过点F作FN⊥AC于点N,
∵在正方形ADEF中,AD=DE=
2 |
∴AE=
AD2+DE2 |
∴AN=FN=
1 |
2 |
∵在等腰直角△ABC中,AB=AC=4,
∴CN=AC-AN=3,BC=
AB2+AC2 |
2 |
∴在Rt△FCN中,tan∠FCN=
FN |
CN |
1 |
3 |
∴在Rt△ABM中,tan∠ABM=
AM |
AB |
1 |
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