如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为．

Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为___．

Answer 1

∵PA⊥PB，即∠APB=90°，AB=BC=2，
∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的 O上，

如图，连接CO交 O于点P₁，并延长CO交 O于点P₂，
∵BO=(1)/(2)AB=1、BC=2，∠ABC=90°，
∴CO=√(BC2+BO2)=√(22+12)=√(5)，
当点P位于点P₁时，PC的长度最小，此时PC=OC-OP=√(5)-1；
当点P位于点P₂时，PC的长度最大．此时PC=OC+OP=√(5)+1；
∴√(5)-1≤PC≤√(5)+1，
故答案为：√(5)-1≤PC≤√(5)+1．