已知α1,α2,α3是四元非线性方程组AX=β的三个解,r（A）=3,且α1=（1023）T,α2+α3=（42-60）T,求方程组AX=β的通解

Question

已知α1,α2,α3是四元非线性方程组AX=β的三个解,r（A）=3,且α1=（1 0 2 3）T,α2+α3=（4 2 -6 0）T,求方程组AX=β的通解

Answer 1

“非线性”应该是“非齐次线性”.
根据非齐次线性方程组的通解结构,只要求得Ax=0的一个基础解系即可.r(A)=3,未知量有4个,所以Ax=0的基础解系中只有一个向量.根据非齐次线性方程组与对应的齐次线性方程组的解的关系,(α2+α3-2α1)/2=(1,1,-5,-3)T是Ax=0的非零解,也是Ax=0的一个基础解系.
所以非齐次线性方程组Ax=β的通解是x=α1+k(α2+α3-2α1)/2=(1,0,2,3)T+k(1,1,-5,-3)T,k是任意实数.