非满秩矩阵的通解问题已知η1,η2,η3是四元方程组AX＝b的三个解,其中A的秩R(A)=3,η1=[1,3,-1,4]^T,η2+η3=[2,4,3,0]^T,则方程组AX=b的通解为其中那个特解是η1,剩下的通解部分在这里是什么?

Question

非满秩矩阵的通解问题
已知η1,η2,η3 是四元方程组AX＝b的三个解,其中A 的秩R(A) =3,η1=[1,3,-1,4]^T,η2+η3=[2,4,3,0]^T,则方程组AX=b的通解为
其中那个特解是η1,剩下的通解部分在这里是什么?

Answer 1

非齐次线性方程组的通解为对应齐次线性方程组的通解再加上本身非齐次方程组的一个特解
本题中,由于R(A)=3,所以齐次线性方程组通解中应该含有n-r(A)=4-3=1个向量
因为η2,η3 是四元方程组AX＝b的两个解,
则η4=(η2+η3)/2=(1,2,3/2,0)也是方程组AX＝b的一个解(可以代入方程进行验算)
则η=η1-η4=(0,1,-5/2,4)就是对应的齐次方程AX＝0的一个解
最后可得AX=b的通解为η1+kη