四维向量叉乘四维向量a,b叉乘的模应该是|a||b|sin,但是方向如何?能否用坐标表示?

Question

四维向量叉乘
四维向量a,b叉乘的模应该是|a||b|sin,但是方向如何?能否用坐标表示?

Answer 1

叉乘是三维向量特有的运算,二维向量没有这个运算,同样四维向量也没有这个运算.
二维向量因为本身就是平面内的问题,因此无法画第三个向量与前两个都垂直.
四维向量虽然能画出第三个向量与前两个向量垂直,但方向不确定.首先两向量确定一个平面,在三维空间中,与平面垂直,那么方向就固定了（只剩下正向与反向的问题了）,而四维空间中与平面垂直方向是固定不了的,当你画出一个直线与平面垂直后,还可以再画一条直线,与平面垂直,同时与刚才那条直线也垂直,最终能推出与平面垂直的方向有无数个（就象三维空间中与直线垂直的方向有无数个是一样的道理）.
因此四维空间中没有叉乘这个运算,可以想象一下,如果我们真的在四维空间中定义出一个类似叉乘的运算,那么参与运算的向量至少应该是三个向量.