一维空间是直线,二维空间是直角坐标系,三维空间是空间直角坐标系,四维空间是否再加上时间,那n维空间几何意义是什么?如何从几何意义上理解方向导数与梯度?

Question

一维空间是直线,二维空间是直角坐标系,三维空间是空间直角坐标系,四维空间是否再加上时间,那n维空间几何意义是什么?
如何从几何意义上理解方向导数与梯度?

Answer 1

四维空间并不是加上时间……
我觉得楼主问的这个问题涉及到对数学的理解.数学定义的对象,并不一定非要对应于我们能看得见的世界.是前三维的空间使我们日常生活能感受到的,但是后面的不一定有明确的几何意义了.n维向量空间按照数学的定义,就是n个数排成的一个有序数列,它可以做一些加法、数乘、点乘等运算.它就是存在于人们思想世界的一个东西,并不非要有几何意义或者我们看见的东西去体现.数学可以作为一种语言来描述东西,但也不一定要描述肉眼可见的东西,还可以描述逻辑上的关系.比如物理上（我就是学物理的,就拿物理举例子了）,一团气体,它的状态T（温度）、p（压强）、V（体积）和n（物质的量）满足特定的方程关系f(T,p,V,n)=0,这就是一个四维空间里面的曲面,它并不代表我们能看到的世界,但是描述了气体变化的一种逻辑规律.还比如有3个质点的一个体系,每个质点都有x、y、z三个坐标以及它们三个方向的动量px、py、pz.算下来这个3质点体系一共有的参量是3×6=18个.这样它们运动以及互相作用引起动量变化过程都可以反应为这个18维空间里面的运动曲线.这个18维空间显然也不是能看见的,而是反映一种逻辑.这种把动量和坐标看在一起的空间叫相空间,在物理里面很有用.
对于四维空间第四维是什么,只能从物理上面说.相对论指出光速不变,那么光球面发散传播最远传播到的地方可以看做x²+y²+z²=c²t²这个方程描述球面,然后把c²t²移到左边是-c²t²,看成(ict)²（i是虚数单位,i²=-1）,于是对于别的运动,都定义四维空间(x,y,z,ict)这四个分量,第四维是一个虚数ict,和时间t有关,但不是纯纯的时间t.这个空间叫闵可夫斯基空间,是线性代数上的酉空间.
方向导数和梯度只能理解为数学意义上的变化了,比如梯度理解为这个函数变化最快的变化方式,让这些变量都按梯度给出的方式变化就变化最快；方向导数就是这些变量都按这种形式变化时总函数的变化率.