如图所示，离地面足够高处有一竖直空管，管长为l=0.2m，M、N为空管的上、下两端，以恒定的速度向下做匀速直线运动，同时在空管N点下端距离d=0.25m有一小球开始做自由落体运动，取g=10m/s

Question

如图所示，离地面足够高处有一竖直空管，管长为l=0.2m，M、N为空管的上、下两端，以恒定的速度向下做匀速直线运动，同时在空管N点下端距离d=0.25m有一小球开始做自由落体运动，取g=10m/s，求：

（1）若经过t₁=0.2s，小球与N点等高，求空管的速度大小v₀；
（2）若经过t₂=0.5s，小球在空管内部，求空管的速度大小v₀应满足什么条件；
（3）为了使小球在空管内部运动的时间最长，求v₀的大小，并求出这个最长时间．

Answer 1

（1）当球与N点等高时，则：v0t1-(1)/(2)g

t

2 1

=d   
得：v₀=2.25m/s
（2）若v₀最小时，球恰好运动到与N点等高，则：v0t2-(1)/(2)g

t

2 2

=d
得：v₀=3m/s 
若v₀最大时，球恰好运动到与M点等高，则：
v0t3-(1)/(2)g

t

2 3

=d+l
  得：v₀=3.4m/s 
故：3m/s≤v₀≤3.4m/s     
（3）当时间最长时，球运动到M处恰好与管共速，则：
v₀=gt₄    
v0t4-(1)/(2)g

t

2 4

=d+l  
解得：v₀=3m/s   
小球与N点等高时，则：v0t5-(1)/(2)g

t

2 5

=d 
解得：t=0.1或t=0.5
则：t_m=△t=0.5-0.1=0.4s 
答：（1）若经过t₁=0.2s，小球与N点等高，空管的速度大小是2.25m/s；
（2）若经过t₂=0.5s，小球在空管内部，空管的速度大小v₀应满足条件3m/s≤v₀≤3.4m/s；
（3）为了使小球在空管内部运动的时间最长，v₀的大小是3m/s，这个最长时间是0.4s．