1）一个单摆的速度怎么计算?2）和一个弹黄振子的运动有什么区别?我想知道单摆的运动方程,以及它和振子的运动方程有什么不同.例如：弹黄振子的运动方程v（瞬时值）＝V（最大值）sin（wt

Question

1）一个单摆的速度怎么计算?
2）和一个弹黄振子的运动有什么区别?
我想知道单摆的运动方程,以及它和振子的运动方程有什么不同.例如：
弹黄振子的运动方程v（瞬时值）＝V（最大值）sin（wt）.
单摆的运动方程显然相差一个摆动角的因子,而且它的路径是弯曲的.如果（x w）都一样,单摆的运动要复杂一点,
也就是说,它们的运动方程应该有所不同.

Answer 1

根据F向=MV^2/R或MgΔH=MV^2/2来算速度.
形异质同的单摆物理模型的周期
单摆由一根不可伸长的细线,系一可视为质点的摆球构成.显
然,它是一种抽象化了的理想模型.当单摆振动时,其回复力由重
力沿圆弧切线方向的分力提供,如图1所示.当单摆的最大摆
角时,由于
（x为振子相对平衡位置0的位移大小,为单摆的摆长）.考虑到回
复力的方向与位移的方向相反,有
即此时单摆做简谐振动,其振动周期
对于形异质同的单摆模型,由于回复力具有相同的规律,其周期公
式也具有相同的形式,其中为等效摆长,为等效重力
加速度.
一、等效摆长的计算
单摆的运动轨迹点是一小段圆弧,其轨道半径R与等效摆长相
等,即=R.对于形异质同的单摆物理模型,不管有无“悬点”,
只要搞清了圆弧轨道的半径R,单摆的周期即可用计算.
例一：如图2为一双线摆,摆球由两根长度均为的细线悬挂在
天花板上,且悬线与水平方向的夹解为,求摆球垂直于纸面做简
谐振动的周期?如果左侧摆长度L与右侧不相等,且,结
果又怎样?
分析：无论在左右两侧摆线是否相等,只要,单摆圆弧
轨道半径,故振动周期.
例二,如图3为一摆长为的单摆,悬点0的正下方距悬点h处有
一颗钉子.当把摆球向左偏离竖直线很小的角度释放,求摆球的振
动周期.
分析：释放摆球后,由于摆球在一个振动周期内都是做圆弧运动.
一个圆弧的半径为,一个为,且最大摆角很小,故
,
即
例三,如图4,在光滑的水平导轨上有一质量为m的小车（可视
为质点）,小车上用长为的细绳连一质量也是m的摆球.现使摆
球偏离竖直方向很小的角度从静止释放,求单摆的振动周期.
分析：小车和摆球在水平方向不受力,共质量中心的0的水平位置不
变；竖直方向的位移的的最大值为,因很小可忽略,
故摆球可认为绕0点做简谐振动,其周期
例四：如图5为一半径为R的光滑凹槽,现将一半径为为r的小球
稍稍从偏离最低点的位置释放,求往复运动的周期.
分析：小球做往复运动的回复力与单摆振动的回复力均为重力沿圆
弧切线方向的分力,其运动与摆长为R-r的单摆振动等效,其周期
二、等效重力加速度的计算
质同形异的单摆,其回复力总可以写作,其中
即为等效重力加速度,在数值上等于单摆相对于“悬点”静止时
摆线对摆球的拉力与摆球的质量的比值,即.
例五：如图6-（a）和图6-（b）所示,在竖直向下和水平向右的
匀强电场中,各有一质量为m,电量为+q的带电不球,用摆长为的
细线构成一个单摆.已知电场强度均为E.求单摆振动的周期.
分析：当摆球相对于悬点静止时,摆球均处于平衡状态,其受力分
析如图6-（a）和图6-（b）所示.
在图6-（a）中,
在图6-（b）中,
例六：如图7-（a）所示,将一摆长为的单摆置于倾角为的光
滑斜面上,求单摆的振动周期.
分析：让单摆相对于悬点静止,摆球处于平衡状态,其受力分析平
面图如图7-（b）显然有,其振动周期
例七：如图8,在倾角为的光滑斜面上,有一小车沿斜面自由
滑下.小车的顶棚悬一摆长为的单摆,求此时单摆的振动周期.
分析：当小车自由下滑时,摆球相对于悬点静止时,悬线必和斜面
垂直,此时,重力沿斜面方向的分力产生和小车相同的加速
度垂直于斜面方向的分力与悬线的拉力平衡,即
,其周期
必须注意的是在利用时,的计算不能将振动过程中始
终沿摆线方向的力包括在内.因为唯一决定单摆振动周期的只是沿
圆周切线方向的回复力,始终沿摆线方向的力不会影响单摆的振动
快慢.例如,在图9中,一摆长为,质量为m的带电小球构成的单
摆,若在悬点处有一个点电荷,单摆的回复力仍为,故周期
不变.