若z=z(x,y)由x^2+y^2+z^2=ye^yz确定求dz

Answer 1

两边直接取微分,得2xdx+2ydy+2zdz = e^(yz)dy+yd(e^(yz)) = e^(yz)dy+yze^(yz)dy+y²e^(yz)dz.
整理得(y²e^(yz)-2z)dz = 2xdx+(2y-(1+yz)e^(yz))dy ①.
故dz = (2xdx+(2y-(1+yz)e^(yz))dy)/(y²e^(yz)-2z) (要求y²e^(yz)-2z ≠ 0).
如果对上述方法的严格性有疑问,可以从隐函数定理的角度来考虑.
对于z = z(x,y),由全微分定义有dz = (∂z/∂y)dy+(∂z/∂x)dx.
设F(x,y,z) = ye^(yz)-x²-y²-z²,则由隐函数定理,在∂F/∂z ≠ 0处成立:
∂z/∂y = -(∂F/∂y)/(∂F/∂z),∂z/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂z).
故dz = -(∂F/∂y)/(∂F/∂z)·dy-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)·dx ②.
而①式作为对F直接取微分的结果,就是(∂F/∂z)dz = -(∂F/∂y)dy-(∂F/∂x)dx.
在∂F/∂z ≠ 0时就可以除掉得到②式,所以直接微分的方法是有依据的.
严格来说还要验证隐函数定理的其他条件,例如F连续可微性.
不过本题的函数很明显成立,所以就省略了.