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如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(6,0),直线y=-x+b经过点A,与y轴交于点B.(1)求点B的坐标;(2)若动点P从B点出发,以5个单位/秒的速度沿BO向终点O运动,过点P

题目详情
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(6,0),直线y=-x+b经过点A,与y轴交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)若动点P从B点出发,以5个单位/秒的速度沿BO向终点O运动,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,M为PQ上的一点,且QM=2PM,过M点作MN⊥OA,垂足为N,设MN的长为y,点P的运动时间为t,求y关于t(秒)的函数关系式(请直接写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,将△BPQ沿直线PQ折叠得到△B′PQ,过B′点作B′D垂直x轴于点D,当t为何值时,∠MB′N=90°,并判断此时直线B′D与以MN为直径的⊙O′的位置关系,请说明理由.

▼优质解答
答案和解析
(1)把点A的坐标为(6,0)代入直线y=-x+b求出直线的解析式,当x=0时求出y值就可以求出点B的坐标.
(2)由(1)B的坐标可以求出OB,再由勾股定理就可以求出AB的值,由PQ⊥AB,根据三角形的正弦值表示出PQ再由已知条件可以表示出PM,如图1作PH⊥MN可以求得∠MPH=∠ABO,可以表示出MH,这样就可以得出结论.
(3)如图2,作NK⊥AB于K,O′R⊥B′D于R,通过证明△MQB′∽△B′KN,利用(2)的结论可以求出∠MB′N=90°时t的值,然后就可以表示出ON,MN的值,计算比较O′R与MN的大小从而可以确定B′D与⊙O′的位置关系.
【解析】
(1)把(6,0)代入y=-x+b,得
0=-8+b,
∴b=8,
∴y=-x+8,当x=0时,y=8,
∴B(0,8);
(2)∵OB=8,OA=6,由勾股定理得AB=10.
∵PQ⊥AB,BP=5t,
∴sin∠OBA=
=
∴PQ=3t,
∴BQ=4t,
∵QM=2PM,
∴PM=t,QM=2t.
如图1,过点P作PH⊥MN于H,
∵MN⊥OA,
∴MN∥OB,
∴∠MPH=∠0BA,
∴sin∠MPH=

∴MH=t,
∴ON=PH=t,
∵HN=PO=8-5t,
∴y=MN=MH+HN=8-5t+t,
∴y=-t+8(0<t≤);
(3)如图2,过点N作NK⊥AB于K,
∵PQ⊥AB,
∴∠MQB′=∠NKB′=90°.
根据题意B′点在直线AB 上,且BQ=B′Q=4t,
∵∠MB′N=90°,
∴∠MB′Q+∠NB′K=90°.
∵∠NB′K+∠B′NK=90°,
∴∠MB′Q=∠B′NK,
∴△MB′Q∽△B′NK,

∴ON=t,AN=6-t,NK=(6-t)×=-,AK=(6-t)×=-t,
=
解得t=
过点O′作O′R⊥B′D于R,当t=时.
ON=,MN=,的值,计算比较O′R=MD=OD-ON=OA-AD-ON=6-AB′-=MN=
∴O′R<MN,
∴直线B′D于⊙O′相交.