什么叫作线性系统?

Question

什么叫作线性系统?

Answer 1

状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统.叠加原理是指:如果系统相应于任意两种输入和初始状态(u1(t),x01)和(u2(t),x02)时的状态和输出分别为(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)),则当输入和初始状态为(C1u1(t)＋C2u2(t),C1x01＋C2x02)时,系统的状态和输出必为(C1x1(t)＋C2x2(t),C1y1(t)＋C2y2(t)),其中x表示状态,y表示输出,u表示输入,C1和C2为任意实数.一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统.但是,相反的命题在某些情况下可能不成立.线性系统的状态变量(或输出变量)与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述,这种方程称为系统的数学模型.作为叠加性质的直接结果,线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应.前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应.两者可分别计算.这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便.
严格地说,实际的物理系统都不可能是线性系统.但是,通过近似处理和合理简化,大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析.例如一个电子放大器,在小信号下就可以看作是一个线性放大器,只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性.线性系统的理论比较完整,也便于应用,所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理.例如在处理输出轴上的摩擦力矩时,常将静摩擦当作与速度成比例的粘性摩擦来处理,以便于得出一些可用来指导设计的结论.从这个意义上来说,线性系统是一类得到广泛应用的系统.