已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn+12bn＝1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Mn；（Ⅱ）求证数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式与前n项和Tn公式；（I

Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn+(1)/(2)bn＝1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和M_n；
（Ⅱ）求证数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式与前n项和T_n公式；
（III）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由a₂=6，a₅=18，
可得a₁+d=6，a₁+4d=18，
解得a₁=2，d=4．
从而a_n=4n-2，M_n=2n²
（Ⅱ）由Tn+(1)/(2)bn＝1，
令n=1，则b1+(1)/(2)b1＝1，可得b1＝(2)/(3)．
当n≥2时，Tn+(1)/(2)bn＝1，Tn−1+(1)/(2)bn−1＝1，
两式相减得Tn+(1)/(2)bn−Tn−1−(1)/(2)bn−1＝0．
可得bn＝(1)/(3)bn−1．
所以数列{b_n}是等比数列．
可得bn＝2×((1)/(3))n，Tn＝((2)/(3)[1−((1)/(3))n])/(1−(1)/(3))＝1−(1)/(3n)．…（8分）
（Ⅲ）由cn＝an•bn＝4(2n−1)•((1)/(3))n．
则Sn＝4[1×(1)/(3)+3×((1)/(3))2+5×((1)/(3))3+…+(2n−1)×((1)/(3))n]．(1)/(3)Sn＝4[1×((1)/(3))2+3×((1)/(3))3+…+(2n−3)×(

作业帮用户 2016-12-03 举报

问题解析

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₂=6，a₅=18，可求首项及公差，进而可求通项公式及前n项和
（Ⅱ）由Tn+

(1)/(2)bn＝1，令n=1，可求b1＝(2)/(3)．当n≥2时，由Tn+(1)/(2)bn＝1，可得Tn−1+(1)/(2)bn−1＝1，两式相减得Tn+(1)/(2)bn−Tn−1−(1)/(2)bn−1＝0．即bn＝(1)/(3)bn−1，利用等比数列的通项公式及前n项和公式可求
（III）由（I）（II）可得，cn＝an•bn＝4(2n−1)•((1)/(3))n，故考虑利用错位相减求数列的和

名师点评

本题考点：

数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评：

本题主要考查了利用基本量求解等差数列的通项公式及数列的和，及利用递推关系构造等比数列求解数列的通项公式，本题的难点在于（III）的错位相减求解数列的和

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