已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，a1，a3，a9成等比数列．求：（Ⅰ）数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{an•2an}的前n项和Sn．

Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列．求：
（Ⅰ）数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{an•2an}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意知d为非零常数
∵a₁=1，a₁、a₃、a₉成等比数列
∴a₃²=a₁×a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），解之得d=1（舍去0）
因此，数列{a_n}的通项公式为a_n=1+（n-1）×1=n；
（II）由（I）得an•2an=n×2ⁿ
∴S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ…①
两边都乘以2，得2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹…②
①-②可得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=(2(1−2n))/(1−2)-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹（1-n）-2
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．