如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PC2=PE•PF；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长．

Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：PC²=PE•PF；
（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长．

Answer 1

（1）证明：
法1：∵四边形ABCD是菱形，∴DC=DA，∠ADP=∠CDP，DC∥AB，
又∵DP是公共边，∴△DAP≌△DCP，
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
由DC∥FA得，∠F=∠DCP，
∴∠F=∠DAP，又∵∠EPA=∠APF
∴△AEP∽△FAP，
∴PA²=PE•PF
∴PC²=PE•PF．
法2：∵四边形ABCD是菱形
∴DC∥AB，AD∥BC（1分）
∴(PC)/(PF)＝(DP)/(PB)，(DP)/(PB)＝(PE)/(PC)（4分）
∴(PC)/(PF)＝(PE)/(PC)
∴PC²=PE•PF．
（2）∵PE=2，EF=6，∴PF=8，
∵PC²=PE•PF，∴PC²=16∴PC=4，
∵DC∥FB
∴(FB)/(DC)＝(PF)/(PC)，
又DC=8，∴(FB)/(8)＝(8)/(4)
∴FB=16．