如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC．（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）当⊙O的半径为5，AC=2，BE=1时，求BP的长．

Question

如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC．

（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；
（2）当⊙O的半径为√(5)，AC=2，BE=1时，求BP的长．

Answer 1

（1）直线BP和⊙O相切，
理由：连接BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵PF∥AC，
∴BC⊥PF，
则∠PBC+∠BPF=90°，
∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，
∴∠BPF=∠ABC，
∴∠PBC+∠ABC=90°，
即∠PBA=90°，
∴PB⊥AB，
∵AB是直径，
∴直线BP和⊙O相切；
（2）由已知，得∠ACB=90°，
∵AC=2，AB=2√(5)，
∴由勾股定理得：BC=4，
∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，
∴∠BPF=∠ABC，
由（1），得∠ABP=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△EBP，
∴(AC)/(BE)=(BC)/(BP)，
解得BP=2，
即BP的长为2．