如图，已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P是AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点．（1）请判断四边形PECF的形状，并说明理由；（2）随着P点在

Question

如图，已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P是AB上 （不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点．
（1）请判断四边形PECF的形状，并说明理由；
（2）随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=3²+4²=5²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°，
∴四边形PECF是矩形；

（2） CM的长度会改变，
理由是：连接PC，
由（1）证得四边形PECF是矩形，
∴EF=PC
过点C作CD⊥AB，此时CD=PC且PC最小，
∴PC=(AC•BC)/(AB)=(12)/(5)=2.4，
∵点P是斜边AB上 （不与A、B重合），
∴PC<BC=4，
∴PC的范围是2.4≤PC<4，
即EF的范围是2.4≤EF<4，
∵M为EF的中点，
∴CM=(1)/(2)EF，
∴CM的范围是1.2≤CM<2．