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已知,正方形ABCD的边长为4,点E在直线CD上,CE=2,点P在边AC上,且PB⊥PE,则PC的长为.
题目详情
已知,正方形ABCD的边长为4,点E在直线CD上,CE=2,点P在边AC上,且PB⊥PE,则PC的长为______.
▼优质解答
答案和解析
如图,过点P作PF⊥BC于F,作PG⊥CD于G,
∵点P在边AC上,
∴四边形PFCG是正方形,
∴PF=PG,∠FPG=90°,
∴∠EPG+∠EPF=90°,
∵PB⊥PE,
∴∠BPF+∠PF=90°,
∴∠BPF=∠EPG,
在△BPF和△EPG中,
,
∴△BPF≌△EPG(ASA),
∴BF=EG,
设FC=x,
∵正方形ABCD的边长为4,
∴BF=4-x,
∵CE=2,
∴CG=2+(4-x)=x,
解得x=3,
∴FC=
FC=3
.
故答案为:3
.
∵点P在边AC上,
∴四边形PFCG是正方形,
∴PF=PG,∠FPG=90°,
∴∠EPG+∠EPF=90°,
∵PB⊥PE,
∴∠BPF+∠PF=90°,
∴∠BPF=∠EPG,
在△BPF和△EPG中,
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∴△BPF≌△EPG(ASA),
∴BF=EG,
设FC=x,
∵正方形ABCD的边长为4,
∴BF=4-x,
∵CE=2,
∴CG=2+(4-x)=x,
解得x=3,
∴FC=
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故答案为:3
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