设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,S（n+1）=4an+2且（a（n+1）-2an）为等比数列,求数列an的通项公式

Question

设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,S（n+1）=4an+2且（a（n+1）-2an）为等比数列,求数列an的通项公式

Answer 1

Sn=4a(n-1)+2
S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1)=a(n+1)
[a（n+1）-2an]/[an-2a(n-1)]=[2an-4a(n-1)]/[an-2a(n-1)]=2
设bn=a（n+1）-2an
b1=3
bn=3×2^(n-1)
所以a（n+1）-2an=3×2^(n-1)
上式可化为a（n+1）-3（n+1)2^(n-1)=2[an-3n*2^(n-2)]
[a（n+1）-3（n+1)2^(n-1)]/[an-3n*2^(n-2)]=2
令cn=an-3n*2^(n-2)
则c1=-1/2
cn=-2^（n-2)
则an=3n*2^(n-2）-2^（n-2)
=（3n-1）2^(n-2)