如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上任一点，过P点作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，则PE+PF=CD，你知道这是为什么吗？

Question

如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上任一点，过P点作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，则PE+PF=CD，你知道这是为什么吗？
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Answer 1

【分析】思路一：用面积证明，连接AP，则由可得出三条高PE、PF、CD的关系，再由AB:AC化简等式即得出结论.
思路二：过P点作PG⊥CD于G，可以证明四边形DEPG为矩形，所以PE=DG.又AB=AC，PG∥AB，可以得到∠GPC=∠FCP，再证明△PGC与△CFP全等，得到CG=PF，从而证明PE+PF=CD.

1、解法一：连接AP.

∵，
∴.
又∵AB=AC，
∴CD·AB=PE·AB+PF·AB，
即CD=PE+PF.
1、解法二：过P点作PG⊥CD于G.

∵PE⊥AB，CD⊥AB，PG⊥CD，
∴四边形DEPG为矩形.
∴PE=DG.
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠FCP.
∵PG∥AB，
∴∠B=∠GPC.
∴∠GPC=∠FCP.
∴在△PGC和△CFP中，
∴△PGC≌△CFP(AAS).
∴CG=PF.
∴DC=DG+GC=EP+PF.

【点评】一般地，求证一条线段等于两条线段之和时，可采取“截长补短法”，即要么将长的线段截断，要么将两条短线段转化到一条直线上.
当P在BC延长线上时，PE-PF=CD.