已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2an+1，求数列{bn}的前n项和．

Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2^a_n+1，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d≠0．
∵S₃=a₄+6，
∴3a₁+(3×2d)/(2)=a₁+3d+6．①
∵a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴a1(a1+12d)＝(a1+3d)2．②…（2分）
由①，②可得：a₁=3，d=2．…（4分）
∴a_n=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由题意bn＝22n+1+1，
设数列{b_n}的前n项和为T_n，Cn＝22n+1，
(cn+1)/(cn)=(22(n+1)+1)/(22n+1)=4，（n∈N^*），
∴数列{C_n}为以8为首项，以4为公比的等比数列…（9分）
∴Tn＝(8(1−4n))/(1−4)+n=(2•4n+1−8)/(3)+n．…（12分）