已知首项为32，公比不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且-2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=n|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn并比较Tn+bn与6大小

Question

已知首项为(3)/(2)，公比不等于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^* ），且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=n|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n并比较T_n+b_n 与6大小．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得2S₃=-2S₂+4S₄，
即（S₄-S₂）+（S₄-S₃）=0，亦即（a₄+a₃）+a₄=0，
∴(a4)/(a3)＝−(1)/(2)，∴公比q＝−(1)/(2)，…4分
于是数列{a_n}通项公式为an＝(3)/(2)(−(1)/(2))n−1(n∈N*)．…5分
（Ⅱ）bn＝n|an|＝n•(3)/(2)•((1)/(2))n−1＝(3n)/(2n)，
所以Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝(3)/(21)+(6)/(22)+(9)/(23)+…+(3n)/(2n)，①
(1)/(2)Tn＝(3)/(22)+(6)/(23)+…+(3(n−1))/(2n)+(3n)/(2n+1)，②…8分
①-②得，(1)/(2)Tn＝(3)/(21)+(3)/(22)+(3)/(23)+…+(3)/(2n)−(3n)/(2n+1)
=3

作业帮用户 2017-11-05 举报

问题解析

（Ⅰ）由题意得2S₃=-2S₂+4S₄，由此求出公比q＝−

(1)/(2)，从而能求出数列{a_n}通项公式．
（Ⅱ）bn＝n|an|＝n•(3)/(2)•((1)/(2))n−1＝(3n)/(2n)，由此利用错位相减法能求出Tn＝6−(3n+6)/(2n)，并求出Tn+bn＝6−(6)/(2n)＜6．

名师点评

本题考点：

数列的求和；数列与不等式的综合．

考点点评：

本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议