已知数列{an}的前n项和，其中k为常数，a1，a4，a13成等比数列．（1）求k的值及数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：．

Question

已知数列{a_n}的前n项和，其中k为常数，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．

（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式；

（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：．

Answer 1

【考点】数列的求和．

【分析】（1）由已知数列的前n项和求得a_n=S_n﹣S_n﹣1=2n+k﹣1（n≥2），再求得首项，验证首项成立可得数列通项公式，结合a₁，a₄，a₁₃成等比数列求得k，则通项公式可求；

（2）把（1）中求得的通项公式代入，整理后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和为T_n，放缩可得．

【解答】（1）由，有

a_n=S_n﹣S_n﹣1=2n+k﹣1（n≥2），

又a₁=S₁=k+1，

∴a_n=2n+k﹣1．

∵a₁，a₄，a₁₃成等比数列，∴，

即（2×4+k﹣1）²=（2×1+k﹣1）（2×13+k﹣1），解得k=2．

∴a_n=2n﹣1；

（2）证明：∵ =．

∴．

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

==．

【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．