已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和为Sn，且S3，S2，S4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式．（2）若bn=log2|an|，（n∈N+），设Tn为数列{bn+1|an|}的前n项和，求证：Tn＜4．

Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其前n项和为S_n，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=log₂|a_n|，（n∈N₊），设T_n为数列{(bn+1)/(|an|)}的前n项和，求证：T_n＜4．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公比为q，
∵且S₃，S₂，S₄成等差数列，
∴S₃+S₄=2S₂，
即（a₁+a₂+a₃）+（a₁+a₂+a₃+a₄）=2（a₁+a₂）
∴2a₃+a₄=0，q=(a4)/(a3)=-2，
∴a_n=a₁q^n-1=（-2）^n-1；
（2）证明：|a_n|=2^n-1，bn＝log22n−1＝n−1，
∴(bn+1)/(|an|)＝(n)/(2n−1)，
∴Tn＝(1)/(20)+(2)/(21)+(3)/(22)+…+(n)/(2n−1)---------①
(1)/(2)Tn=(1)/(21)+(2)/(22)+…+(n−1)/(2n−1)+(n)/(2n)------②
①-②得，(1)/(2)Tn＝(1)/(20)+(1)/(21)+(1)/(22)+…+(1)/(2n−1)−(n)/(2n)
=(1−(1)/(2n))/(1−(1)/(2))−(n)/(2n)
=2-

作业帮用户 2017-10-16 举报

问题解析

（1）由等差数列的性质和等比数列的通项公式，即可求出公比，再由通项公式即可得到；
（2）化简b_n，及

(bn+1)/(|an|)，运用数列的求和方法：错位相减法，求出T_n，整理即可得证．

名师点评

本题考点：

数列的求和．

考点点评：

本题考查等差数列的性质，等比数列的通项和求和公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查基本的运算能力，是一道综合题．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议