已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．

Question

已知{a_n}是等差数列，满足a₁=3，a₄=12，数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}为等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得
d=(a4-a1)/(3)=(12-3)/(3)=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n（n=1，2，…）．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=3n；
设等比数列{b_n-a_n}的公比为q，由题意得：
q³=(b4-a4)/(b1-a1)=(20-12)/(4-3)=8，解得q=2．
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）q^n-1=2^n-1．
从而b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=3n+2^n-1；
（2）由（1）知b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
数列{3n}的前n项和为(3)/(2)n（n+1），数列{2^n-1}的前n项和为(1-2n)/(1-2)=2ⁿ-1．
∴数列{b_n}的前n项和为(3)/(2)n（n+1）+2ⁿ-1．