公差d≠0的等差数列的前n项和为，已知，．(Ⅰ)求数列的通项公式及其前n项和；(Ⅱ)记，若自然数，，…，，…满足……，并且，，…，，…成等比数列，其中，，求(用k表示)；(Ⅲ)记，试问

Question

公差d≠0的等差数列的前n项和为，已知，．
(Ⅰ)求数列的通项公式及其前n项和；
(Ⅱ)记，若自然数，，…，，…满足……，并且，，…，，…成等比数列，其中，，求(用k表示)；
(Ⅲ)记，试问：在数列中是否存在三项，，(r<sl，r，s，)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)把a₁代入S₃，求得d，进而根据等差数列的通项公式和求和公式求得a_n及其前n项和S_n．
(Ⅱ)把(1)中求得的a_n代入求得b_n，进而求得，即数列，的公比，根据等比数列的通项公式求得，进而根据求得η_k．
(Ⅲ)根据(1)中求得的S_n求得c_n，假设存在三项c_r，c_s，c_t成等比数列，则c_s²=c_r•c_t，把c_n代入整理得进而看当2s-r-t≠0时看相等，当2s-r-t=0时，r和t的关系，进而判断假设是否成立．

(Ⅰ)∵，，∴d=2
所以，
(Ⅱ)由题意，b_n=2n，首项b₁=2，又数列，
的公比
∴，又，∴η_k=3^k-1
(Ⅲ)易知，假设存在三项c_r，c_s，c_t成等比数列，则c_s²=c_r•c_t，
即，
整理得
①当2s-r-t≠0时，，
∵r，s，t∈N^*，∴是
有理数，这与为无理数矛盾
②当2s-r-t=0时，则rt+r+t-s²-2s=0，从而，
解得r=t，这与rl矛盾．
综上所述，不存在满足题意的三项c_r，c_s，c_t

【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．