数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2且Sn=Sn-1+2n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求Sn；（Ⅱ）是否存在等比数列{bn}满足b1=a1，b2=a3，b3=a9？若存在，则求出数列{bn}的通项公式；若不存在，则说明理由．

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2且S_n=S_n-1+2n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）是否存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉？若存在，则求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，则说明理由．

Answer 1

（I）因为S_n=S_n-1+2n，
所以有S_n-S_n-1=2n对n≥2，n∈N^*成立（2分）
即a_n=2n对n≥2成立，又a₁=S₁=2•1，
所以a_n=2n对n∈N^*成立（3分）
所以a_n+1-a_n=2对n∈N^*成立，所以{a_n}是等差数列，（4分）
所以有Sn＝(a1+an)/(2)•n＝n2+n，n∈N^*（6分）
（II）存在．（7分）
由（I），a_n=2n，n∈N^*对成立
所以有a₃=6，a₉=18，又a₁=2，（9分）
所以由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，则(b2)/(b1)＝(b3)/(b2)＝3（11分）
所以存在以b₁=2为首项，公比为3的等比数列{b_n}，
其通项公式为b_n=2•3^n-1．（13分）