某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C

Question

某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．

（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．

Answer 1

（本题满分16分）
（1）作AH⊥CF于H，
则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）
则六边形的面积为f （θ）=2×(1)/(2)（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ
=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，(π)/(2)）．                           …（6分）
（2）f′（θ）=2[-sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]
=2（2cos²θ+cosθ-1）=2（2cosθ-1）（cosθ+1）．            …（10分）
令 f′（θ）=0，因为θ∈（0，(π)/(2)），
所以cosθ=(1)/(2)，即θ=(π)/(3)，…（12分）
当θ∈（0，(π)/(3)）时，f′（θ）>0，所以f （θ）在（0，(π)/(3)）上单调递增；
当θ∈（(π)/(3)，(π)/(2)）时，f′（θ）<0，所以f （θ）在（(π)/(3)，(π)/(2)）上单调递减，…（14分）
所以当θ=(π)/(3)时，f （θ）取最大值f （(π)/(3)）=2（cos(π)/(3)+1）sin(π)/(3)=(3√(3))/(2)．    …（15分）
答：当θ=(π)/(3)时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为(3√(3))/(2)平方百米．…（16分）