一道数学题急``````在平面直角坐标系中,A,B两点为某一高速公路的出站口,已知A(a,2),B(-3,b),直线AB平行于x轴,且AB=5,C点为x轴上待建的一个加油站1.求出a,b的值2.请你在x轴上确定加油站C点,使C点A,B

Question

一道数学题急``````
在平面直角坐标系中,A,B两点为某一高速公路的出站口,已知A(a,2),B(-3,b),直线AB平行于x轴,且AB=5,C点为x轴上待建的一个加油站
1.求出a,b的值
2.请你在x轴上确定加油站C点,使C点A,B两点的距离之和最小

Answer 1

因为直线AB平行于x轴
所以点A和点B的纵坐标值相等
即：b=2
A(a,2),B(-3,2)
而AB=5
所以|AB|=|a+3|=5
所以a=2或-8
1.a=2或-8,b=2
2.设点C到点A,B两点的距离分别为m,n
则m+n≥2√mn
当且仅当m=n时取等号
故,点C到点A,B的距离相等时,距离之和最小.
所以点C在点A,B的垂直平分线上,所以点C为线段AB在x轴上的射影线段的中点
所以点C的横坐标为点A,B横坐标的平均值(a-3)/2
若a=2,则点C的横坐标为-1/2,此时点C的坐标为(-1/2,0)
若a=-8,则点C的横坐标为-11/2,此时点C的坐标为(-11/2,0)
第二题的方法二：设点C(m,0)
则点C到点A的距离的平方为(m-a)^2+4=m^2-2am+a^2+4
点C到点B的距离的平方为(m+3)^2+4=m^2+6m+13
点C到点A,B的距离的平方之和最小时距离之和最小
点C到点A,B的距离的平方之和为
y=m^2-2am+a^2+4+m^2+6m+13=2m^2+(6-2a)m+a^2+13=2[m^2+(3-a)m]+a^2+13
=2[m-(a-3)/2]^2+(a^2/2-3m+35/2)≥a^2/2-3m+35/2
当且仅当m=(a-3)/2时取等号,此时y最小
所以m=(a-3)/2点C到点A,B的距离之和最小
若a=2,则m=-1/2,此时点C的坐标为(-1/2,0)
若a=-8,则m=-11/2,此时点C的坐标为(-11/2,0)