探究：如图①，在矩形ABCD中，过点A作∠EAF=∠BAD，AE交线段BC于点E，AF交线段CD的延长线于点F．求证：△ABE∽△ADF．拓展：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADF=180°，过点A作∠EAF=∠BAD，AE交线

Question

探究：如图①，在矩形ABCD中，过点A作∠EAF=∠BAD，AE交线段BC于点E，AF交线段CD的延长线于点F．求证：△ABE∽△ADF．
拓展：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADF=180°，过点A作∠EAF=∠BAD，AE交线段BC于点E，AF交线段CD延长线于点F．若AB：AD=2：3，求△ABE的面积与△ADF的面积之比．

Answer 1

探究：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=∠B=90°
∴∠ADF=∠B=90°，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAB+∠EAD=∠FAD+∠EAD，
∴∠EAB=∠FAD，
∴△ABE∽△ADF；

拓展：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+ADF=180°．
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAB+∠EAD=∠FAD+∠EAD，
∴∠EAB=∠FAD
∴△ABE∽△ADF．
∴S△ABE：S△ADF=AB²：AD²=4：9．