跳水运动员,自10米跳台自由下落,入水后因受水的阻碍而减速,设加速度a=-kv^2,k=0.4,求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度.a是一个变化的量

Question

跳水运动员,自10米跳台自由下落,入水后因受水的阻碍而减速,设加速度a=-kv^2,k=0.4 ,求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度.
a是一个变化的量

Answer 1

这个要用到微积分和常微分方程：
dv/dt=a=-kv^2
-1/(v^2)dv=kdt,左右两边同时积分,得1/v=kt+c,c为常数,t=0时,v=v0（v0是入水的初速度）,代入上式,得出c=1/v0；
dh/dt=v=1/(kt+c)
dh=1/(kt+c)dt 两边同时取定积分0-h,0-t,得到
h-0=1/k(ln(kt+c)-lnc),其中kt+c=1/v=10/v0,c=1/v0
h=(ln(10/v0)-ln(1/v0))/k=(1/k)ln10