某滑雪场中游客用手推着坐在滑雪车上的小朋友一起娱乐，当加速到一定速度时游客松开手，使小朋友连同滑雪车一起以速度v0冲上足够长的斜坡滑道．为了研究方便，可以建立图示的简化

Question

某滑雪场中游客用手推着坐在滑雪车上的小朋友一起娱乐，当加速到一定速度时游客松开手，使小朋友连同滑雪车一起以速度v₀冲上足够长的斜坡滑道．为了研究方便，可以建立图示的简化模型，已知斜坡滑道与水平面夹角为θ，滑雪车与滑道间的动摩擦因数为μ，当地重力加速度为g，小朋友与滑雪车始终无相对运动．
（1）求小朋友与滑雪车沿斜坡滑道上滑的最大距离s；
（2）若要小朋友与滑雪车滑至最高点时能够沿滑道返回，请分析说明μ与θ之间应满
足的关系（设滑雪车与滑道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）；
（3）假定小朋友与滑雪车以1500J的初动能从斜坡底端O点沿斜坡向上运动，当它第一次经过斜坡上的A点时，动能减少了900J，机械能减少了300J．为了计算小朋友与滑雪车返回斜坡底端时的动能，小明同学推断：在上滑过程中，小朋友与滑雪车动能的减少与机械能的减少成正比．请你分析论证小明的推断是否正确并求出小朋友与滑雪车返回斜坡底端时的动能．

Answer 1

（1）在上滑过程中，设加速度大小为a，
由牛顿第二定律：mgsinθ+μmgcosθ=ma        ①
根据运动学公式有：2as=v₀²               ②
联立①②式可得：s=(v20)/(2g(sinθ+μcosθ))；
（2）若要小朋友与滑雪车滑到最高点速度减为0时还能够沿滑道返回，
必须使重力的下滑分力大于最大静摩擦力．即：mgsinθ>μmgcosθ，可得：μ<tanθ．
（3）设小朋友与滑雪车的质量为m，斜面倾角为θ，O、A 两点间的距离为x₁，
此过程中动能的减少量为△E_k，机械能的减少量为△E，由O到A的过程中，
根据动能定理得：-mg x₁sinθ-μmg x₁cosθ=-△E_k
可得：mg （sinθ+μcosθ） x₁=△E_k③
由于物体克服摩擦阻力所做的功量度物体机械能的减少，
可得：μmgx₁cosθ=△E               ④
联立③④式可得：(△EK)/(△E)=(sinθ+μcosθ)/(μcosθ)；
由于在这个问题中θ与μ为定值，则上滑过程中小朋友与滑雪车的动能减少与机械能的减少成正比，因此小明的推断是正确的．
小朋友与滑雪车上滑过程中，当动能减少1500 J时，设机械能减少△E₁，则有：(900)/(300)=(1500)/(△E1)，解得：△E₁=500J，
因为返回底端的过程中机械能还要减少500J，则整个过程中机械能减少1000J，所以物体返回斜面底端时剩余的动能为500J．
答：（1）小朋友与滑雪车沿斜坡滑道上滑的最大距离：s=(v20)/(2g(sinθ+μcosθ))；
（2）若要小朋友与滑雪车滑至最高点时能够沿滑道返回，μ与θ之间应满足的关系是：μ<tanθ．
（3）小明的推断是正确的，小朋友与滑雪车返回斜坡底端时的动能为500J．