质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃（如图）．为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出．物块抛

Question

质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v₀沿与水平面成a角的方向向前跳跃（如图）．为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出．物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动．
（1）若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间．
（2）在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v₀和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离．

Answer 1

（1）规定运动员起跳的时刻为t=0，设运动员在P点（见图预解20-6）抛出物块，以t₀表

示运动员到达P点的时刻，则运动员在P点的坐标x_p、y_p 和抛物前的速度v的分量v_px、v_py 分别为
v_px=v₀cosα          （1）
v_py=v₀sinα-gt₀        （2）
x_p=v₀cosαt₀            （3）
y_p=v₀sinαt₀-(1)/(2)gt₀²     （4）
设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度V的分量大小分别为V_px、V_py，物块相对运动员的速度u的分量大小分别为u_x、u_y，方向分别沿x、负y方向．由动量守恒定律可知：
MV_px+m（V_px-u_x）=（M+m）v_px                       （5）
MV_py+m（V_py-u_y）=（M+m）v_py                       （6）
因u的方向与x轴负方向的夹角为θ，故有
u_x=ucosθ                                       （7）
u_y=usinθ                                      （8）
解式（1）、（2）、（5）、（6）和式（7）、（8），得：
V_px=v₀cosα+(mucosθ)/(m+M)                         （9）
V_py=v₀sinα-gt₀+(musinθ)/(m+M)                        （10）
抛出物块后，运动员从P点开始沿新的抛物线运动，其初速度为V_px、V_py．在t时刻（t＞t₀ ）运动员的速度和位置为
V_x=V_px          （11）
V_y=V_py-g（t-t₀）            （12）
x=x_p+V_px（t-t₀）=（v₀cosα+(mux)/(m+M)）t-(mux)/(m+M)t₀）             （13）
y=y_p+V_py（t-t₀）-(1)/(2)g（t-t₀）²                         （14）
由式（3）、（4）、（9）、（10）、（13）、（14）可得
x=（v₀cosα+(mucosθ)/(m+M)）t-(mucosθ)/(m+M)t₀                    （15）
y=2（v₀sinα+(musinθ)/(m+M)）t-gt²-(2musinθ)/(m+M)t₀               （16）
运动员落地时，y=0
由式（16）得：
gt²-2（v₀sinα+(musinθ)/(m+M)）t+(2musinθ)/(m+M)t₀=0            （17）
方程的根为：
t=

v0sinα+(musinθ)/(m+M)±

作业帮用户 2016-11-20

问题解析

（1）抛球的瞬间，运动员与球组成的系统动量守恒，分水平方向和竖直方向分别动量守恒方程，求出运动员抛出球后的初速度，然后由运动学公式求落地时间；
（2）t越大跳的距离x越大，由运动学公式表示出运动员跳出的距离，然后由数学知识求极值．

名师点评

本题考点：

动量守恒定律．

考点点评：

本题考查了动量守恒定律中的抛球模型，以及运动的合成与分解有关知识的运用，利用数学知识求极值是难点，注重数学方法在物理中的应用．

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