已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED的周长；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿D

Question

已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．

（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A ₀ E ₀ D ₀ ，当A ₀ D ₀ 与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A ₀ E ₀ D ₀ 与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B ₁ ，E的对应点为E ₁ ，设直线B ₁ E ₁ 与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）9+3   （2）S与t之间的函数关系式为：
S=
（3）存在，α=75°

作业帮用户 2016-12-03 举报

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（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3 ，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3 +3=9+3 ．
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D ₀ NK．

∵DD ₀ =2t，∴ND ₀ =DD ₀ •sin30°=t，NK=ND ₀ •tan30°= t，
∴S=S _{△ D0NK} = ND ₀ •NK= t• t= t ² ；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D ₀ E ₀ KN．

∵AA ₀ =2t，∴A ₀ B=AB-AA ₀ =12-2t，
∴A ₀ N= A ₀ B=6-t，NK=A ₀ N•tan30°= （6-t）．
∴S=S _{四边形D0E0KN} =S _{△ ADE} -S _{△ A0NK} = ×3×3 - ×（6-t）× （6-t）=- t ² +2 t- ；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D ₀ IJKN．

∵AA ₀ =2t，∴A ₀ B=AB-AA ₀ =12-2t=D ₀ C，
∴A ₀ N= A ₀ B=6-t，D ₀ N=6-（6-t）=t，BN=A ₀ B•cos30°= （6-t）；
易知CI=BJ=A ₀ B=D ₀ C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S _梯形BND0I -S _{△ BKJ} =  [t+（2t-6）]• （6-t）- •（12-2t）• （12-2t）=- t ² +20 t-42 ．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S= ．
（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B ₁ QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B ₁ QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），

则QB ₁ =QC，∴∠B ₁ CQ=∠B ₁ =30°，
即∠BCB ₁ =30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B ₁ Q=B ₁ C，
若点Q在线段B ₁ E ₁ 的延长线上时（如答图5），

∵∠B ₁ =30°，∴∠B ₁ CQ=∠B ₁ QC=75°，
即∠BCB ₁ =75°，
∴α=75°．