已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED的周长；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平

Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A₀E₀D₀，当A₀D₀与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A₀E₀D₀与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3√(3)，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3√(3)+3=9+3√(3)．

（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D₀NK．

∵DD₀=2t，∴ND₀=DD₀•sin30°=t，NK=ND₀÷tan30°=√(3)t，
∴S=S_△D0NK=(1)/(2)ND₀•NK=(1)/(2)t•√(3)t=(√(3))/(2)t²；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D₀E₀KN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t，
∴A₀N=(1)/(2)A₀B=6-t，NK=A₀N•tan30°=(√(3))/(3)（6-t）．
∴S=S_{四边形D0E0KN}=S_△A0D0E0-S_△A0NK=(1)/(2)×3×3√(3)-(1)/(2)×（6-t）×(√(3))/(3)（6-t）=−(√(3))/(6)t²+2√(3)t-(3√(3))/(2)；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D₀IJKN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t=D₀C，
∴A₀N=(1)/(2)A₀B=6-t，D₀N=6-（6-t）=t，BN=A₀B•cos30°=√(3)（6-t）；
易知CI=BJ=A₀B=D₀C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S_梯形BND0I-S_△BKJ=(1)/(2)[t+（2t-6）]•√(3)（6-t）-(1)/(2)•（12-2t）•(√(3))/(3)（12-2t）=−(13√(3))/(6)t²+20√(3)t-42√(3)．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=

(√(3))/(2)t2(0≤t≤1.5)

−(√(3))/(6)t2+2√(3)t−(3√(3))/(2)(1.5＜t≤4.5)

−(13√(3))/(6)t2+20√(3)t−42√(3)(4.5＜t≤6)

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