设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得amam+1am+2为数列an中的项．

Question

设a_n是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7
（1）求数列a_n的通项公式及前n项和S_n；
（2）试求所有的正整数m，使得(amam+1)/(am+2)为数列a_n中的项．

Answer 1

（1）由题意可得

(a1+d)2+(a1+2d) 2＝(a1+3d)2+(a1+4d)2

7a1+21d＝7

联立可得a₁=-5，d=2
∴a_n=-5+（n-1）×2=2n-7，sn＝−5n+(n(n−1))/(2)×2＝n2−6n
（2）由（1）知(amam+1)/(am+2)＝((2m−7)•(2m−5))/(2m−3)=2m−9+(8)/(2m−3)若使其为数列a_n中的项
则(8)/(2m−3)必需为整数，且m为正整数
m=2，m=1；
m=1时不满足题意，（a₁=-5是最小值）故舍去．
所以m=2．