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如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…am=a1.即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列
题目详情
如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…am=a1.即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设{bn}是项数为2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,并使得1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{bn}的前2010项和S2010可以是:
(1)22010-1;(2)21006-2;(3)2m+1-22m-2010-1;
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(1)22010-1;(2)21006-2;(3)2m+1-22m-2010-1;
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
▼优质解答
答案和解析
∵有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…am=a1.即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”,
{bn}是项数为2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,
∴b1=b2m,b2=b2m-1,…bm=bm+1.
∵数列{bn}项数为2m项,
∴2m≥2010,m≥1005.
∵1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列{bn}中连续的前m项,
∴数列{bn}的2m项之和为:S2m=2(b1+b2+…+bm)=
=2m+1-2.
(1)当m≥2010时,
S2010=b1+b2+…+b2010
=1+2+22+23…+22009
=
=22010-1,
故选项(1)正确;
(2)当1005<m<2010时,
S2010=b1+b2+…+bm+bm+1+…+b2010
=S2m-(b2011+b2012+…+b2m)
=S2m-(1+2+22+…22m-2010-1)
=(2m+1-2)-(22m-2010-1)
=2m+1-22m-2010-1,
故选项(3)正确;
(3)当m=1005时,则2m=2010,
则有:S2010=S2m=21006-2.
故选项(2)正确;
综上,正确的命题个数为3.
故选D.
{bn}是项数为2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,
∴b1=b2m,b2=b2m-1,…bm=bm+1.
∵数列{bn}项数为2m项,
∴2m≥2010,m≥1005.
∵1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列{bn}中连续的前m项,
∴数列{bn}的2m项之和为:S2m=2(b1+b2+…+bm)=
2×1×(1−2m) |
1−2 |
(1)当m≥2010时,
S2010=b1+b2+…+b2010
=1+2+22+23…+22009
=
1−22010 |
1−2 |
=22010-1,
故选项(1)正确;
(2)当1005<m<2010时,
S2010=b1+b2+…+bm+bm+1+…+b2010
=S2m-(b2011+b2012+…+b2m)
=S2m-(1+2+22+…22m-2010-1)
=(2m+1-2)-(22m-2010-1)
=2m+1-22m-2010-1,
故选项(3)正确;
(3)当m=1005时,则2m=2010,
则有:S2010=S2m=21006-2.
故选项(2)正确;
综上,正确的命题个数为3.
故选D.
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