设各项均为正数的数列{an}的前n项之积为Tn，若log2Tn=n2+n，则an+122n的最小值为．

Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项之积为T_n，若log₂T_n=n²+n，则 (an+12)/(2n)的最小值为___．

Answer 1

∵log₂T_n=n²+n，
∴T_n=2n2+n，
∴当n≥2时，an=(Tn)/(Tn-1)=(2n2+n)/(2(n-1)2+(n-1))=2²ⁿ=4ⁿ．
∴(an+12)/(2n)=(22n+12)/(2n)=2n+(12)/(2n)，
令f（x）=x+(12)/(x)，（x≥2），
f′（x）=1-(12)/(x2)=(x2-12)/(x2)，
当2≤x≤√(12)时，函数f（x）单调递减；当√(12)≤x时，函数f（x）单调递增．
∴当n=3时，23+(12)/(23)=(19)/(2)；当n=4时，24+(19)/(24)=17+(3)/(16)>(19)/(2)．
∴则(an+12)/(2n)的最小值为(19)/(2)．
故答案为：(19)/(2)．