x,y,z是正实数,x+y+z=1,求u=x^2/y(1-y)+y^2/z(1-z)+z^2/x(1-x)的最小值

Question

x,y,z是正实数,x+y+z=1,求u=x^2/y(1-y)+y^2/z(1-z)+z^2/x(1-x)的最小值

Answer 1

[[[注:应用“基本不等式”和“柯西不等式”来做]]]
[[[1]]]
由基本不等式可知
x²+y²≥2xy
y²+z²≥2yz
z²+x²≥2zx
三式相加整理可得
x²+y²+z²≥xy+yz+zx.
该不等式两边同加(2xy+2yz+2zx),可得
(x+y+z)²≥3(xy+yz+zx)
结合x,y,z＞0且x+y+z=1
可得 1/(xy+yz+zx)≥3
∴1/[2(xy+yz+zx)]≥3/2
易知,以上各不等式中的等号,仅当x=y=z=1/3时取得
[[[2]]]
∵x+y+z=1
∴y(1-y)=y(x+z)=xy+yz
z(1-z)=z(x+y)=yz+zx
x(1-x)=x(y+z)=xy+zx
∴原式可化为
u=[x²/(xy+yz)]+[y²/(zx+yz)]+[z²/(xy+zx)]
由柯西不等式可知
[(xy+yz)+(yz+zx)+(zx+xy)]×{[x²/(xy+yz)]+[y²/(zx+xy)]+[z²/(yz+zx)]}≥(x+y+z)²
即2(xy+yz+zx)u≥1
∴u≥1/[2(xy+yz+zx)]≥3/2
其中的等号仅当x=y=z=1/3时取得.
∴(u)min=3/2