设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比�设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与

Question

设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比�
设有一半径为R的球体，P₀是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P₀距离的平方成正比（比例常数k＞0），求球体的重心位置．

Answer 1

【解法1】用Ω表示球体，以Ω的球心为原点O，射线OP₀ 为x轴的正方向建立直角坐标系．如下图所示．

则点P₀的坐标为（R，0，0），球面方程为 x²+y²+z²=R²．
设Ω 的重心位置为(

.

x

，

.

y

，

.

z

)．
由对称性可得，

.

y

＝0，

.

z

＝0．
由质心坐标的计算公式可得，

.

x

=(?Ωx?ρ(x，y，z)dxdydz)/(?Ωρ(x，y，z)dxdydz)
=(?Ωx?k((x?R)2+y2+z2)dxdydz)/(?Ωk((x?R)2+y2+z2))
=(?Ωx((x?R)2+y2+z2))/(?Ω((x?R)2+y2+z2))．
因为

?

Ω

((x?R)2+y2+z2)dxdydz=

?

Ω

(x2+y2+z2)dxdydz-2R

?

Ω

xdxdydz+

?

Ω

R2dxdydz，
=

∫

2π 0

dθ

∫

π 0

dφ

∫

R 0

r2r2sinφdr-0+(4)/(3)πR5
=(4)/(5)πR5+(4)/(3)πR5
=(32)/(15)πR5，
且

?

Ω

x((x?R)2+y2+z2)dxdydz=

?

Ω

x(x2+y2+z2+R2)dxdydz-2πR

?

Ω

x2dxdydz
=0-(2πR)/(3)

?

Ω

x2dxdydz
=?(8)/(15)πR6，
所以

.

x

=?(R)/(4)．
故质心坐标为 (?(R)/(4)，0，0)．
【解法2】用Ω表示球体，Ω的球心为O，以固定点P₀ 作为坐标原点，以射线P₀O为z轴的正方向建立直角坐标系．
设Ω 的重心位置为(

.

x

，

.

y

，

.

z

)．
由对称性，

.

x

＝0，

.

y

＝0．
由质心坐标的计算公式可得，

.

z

=(?Ωkz(x2+y2+z2)dxdydz)/(?Ωk(x2+y2+z2)dxdydz)．
因为

?

Ω

(x2+y2+z2)dxdydz=

∫

2π 0

dθ

∫

(π)/(2) 0

dφ

∫

2Rcosθ 0

r2?r2sinφdr
=(32)/(15)πR5，

?

Ω

z(x2+y2+z2)dxdydz=

∫

2π 0

dθ

∫

(π)/(2) 0

dφ

∫

2Rcosθ 0

rsinφ?r2?r2sinφdr
=(8)/(3)πR6，
所以

.

z

=

作业帮用户 2017-09-24