已知双曲线x²-y²/4＝1,过点P（1,1）的直线与双曲线只有一个公共点,求斜率k

Question

已知双曲线x²-y²/4＝1,过点P（1,1）的直线与双曲线只有一个公共点,求斜率k

Answer 1

1、若直线L的斜率不存在,次数L：x=1,与双曲线x²－y²/4=1有一个公共点,满足；
2、若直线L的斜率存在,设其斜率为k,则L：y=k(x－1)＋1,代入双曲线方程,得：
(4－k²)x²＋2k(k－1)x－(k－1)²－4=0
①若4－k²=0,即k=±2时,此方程是一元一次方程,有唯一解,满足；
②若4－k²≠0即k≠±2,此时此方程是一元二次方程,则其判别式=0,此时无解.
从而,直线斜率不存在或斜率k=±2时,直线L与双曲线只有一个公共点.