如图所示，两平行金属板相距为d，加上如图乙所示的方波形电压，电压的最大值为U0，周期为T．现有一离子束，其中每个离子的质量为m，电荷量为q，从与两板等距处沿着与板平行的方向连

Question

如图所示，两平行金属板相距为d，加上如图乙所示的方波形电压，电压的最大值为U₀，周期为T．现有一离子束，其中每个离子的质量为m，电荷量为q，从与两板等距处沿着与板平行的方向连续地射入两板间的电场中．设离子通过平行板所需的时间恰为T（与电压变化周期相同），且所有离子都能通过两板间的空间打在右端的荧光屏上，试求：离子击中荧光屏上的位置的范围（也就是与 O′点的最大距离，重力忽略不计）

Answer 1

（1）t=0时刻射入的粒子打在靶上的位置与靶心O′的距离最大
设此距离为Y_max．
此粒子在 t=0至 t1＝(T)/(2)时间内，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，竖直方向的位移为
   Y1＝(1)/(2)at12＝(1)/(2)×(QUm)/(md)×((T)/(2))2＝(QUmT2)/(8md)
此粒子在t1＝(T)/(2)至t₂=T时间内，做匀速直线运动，竖直方向分速度为vy＝a×t1＝(QUm)/(md)×(T)/(2)
竖直方向的位移为Y2＝vy×(T)/(2)＝(QUm)/(md)×(T)/(2)×(T)/(2)＝(QUmT2)/(4md)
所以：Ymax＝Y1+Y2＝(QUmT2)/(8md)+(QUmT2)/(4md)＝(3QUmT2)/(8md)
（2）t＝(T)/(2)时刻射入的粒子打在靶上的位置与靶心O′的距离最小
设此距离为Y_min．
此粒子在t＝(T)/(2)至 t=T时间内，做匀速直线运动；在t=T至 t＝(3T)/(2)时间内，粒子在水平方向上仍做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，竖直方向的位移为Ymin＝Y1＝(QUmT2)/(8md)
粒子打在靶上的范围在距靶心O′为(QUmT2)/(8md)至(3QUmT2)/(8md)之间． 
答：粒子最后打在靶上的位置范围在距靶心O′为(QUmT2)/(8md)至(3QUmT2)/(8md)之间．